2019년도 서울시7급 전기자기학 해설

인덕터의 인덕턴스는 jwL이다. 이 값의 단위가 옴이므로 L의 단위 H은 옴/Hz 즉 옴*시간의 단위임을 알 수 있다.

1사분면에 전하가 하나 있으니, 2,3,4분면에 영상전하가 있다고 생각하면 깔끔할 것 같다.

F=q(E+vXB)이다. qE=0.5 *10ay=5ay이고, qvXB=0.5 x 2ax X 5ax이므로 0이다. 따라서 F=5ay이다.

한 변의 길이가 a이므로 정삼각형의 높이는 sqrt(3) a/2이다.
그리고 정삼각형의 중심점은 높이를 2:1로 나누므로, 각 꼭지점에서 중심점까지의 거리는
sqrt(3) a/2 *2/3 = sqrt(3) a / 3이다.
3개의 꼭지점이 있고 전위는 중첩되므로 3을 곱하면 등가적인 거리는 sqrt(3) a이다.
전하 한 개가 만드는 전위 V=Q/(4 pi e0 r) 이므로 위에서 구한 r=sqrt(3) a를 대입하여 분모를 유리화하면 답은 4번이다.

del V(0,pi/8,0)와 l 방향의 단위벡터 al를 내적한다.
del V(0,pi/8,0)=-2exp(-2x)sin2y ax + 2exp(-2x) cos 2y ay | (0,pi/8,0)
= -2 / sqrt(2) ax + 2 / sqrt(2) ay
al=1/2 ax + sqrt(3) /2 ay
내적하면 -1/sqrt(2) + sqrt(3) / sqrt(2)= (-1+sqrt(3) )/ sqrt(2)

curl E가 0이므로(못 믿겠으면 계산해보라) 폐곡선을 이루는 경로로 일주시키면 필요한 에너지는 없다.

R은 sigma에 반비례하고, C는 epsilon에 비례하므로 RC는 epsilon/sigma이다. 면적이고 나발이고 다 필요없다.

귀찮으니 넘어가겠다.

1 영역에서 E1t=E1n=10이고 D1n=e0er1E1n=D2n=e0E2n이므로 E2n=er1E1n=10 sqrt(3)이다.
그리고 E1t=E2t=10이므로 E2=sqrt(100+300)=20이다.
tan theta2= 10 sqrt(3) / 10 = sqrt(3)이므로 theat2= 60 deg이다.

정전계이므로 E= -del V = -(2x ax + 2y ay)이다.
따라서 E(P)= -2 ax -2 ay이다.
전기력선은 x/Ex=y/Ey로 표현되는데, Ex=-2=Ey이므로 y=x가 전기력선의 방정식이다.

B=curl A이다.
curl A = ax(dAz/dy – dAy/dz) + ay(dAx/dz – dAz/dx) +az(dAy/dx – dAx/dy) 인데 A 벡터는 z 성분밖에 없다. 따라서 B=curl A=ax dAz/dy -ay dAz/dx=ax(2x+14y) – ay(6x+2y) 이다.
한편, 위 평면으로 빠져나가는 양은 y=0으로 이루어진 평면 및 x=0으로 이루어진 평면으로 들어오는 양의 합과 같다.(왜일까?)
y=0인 경우, Phi(y=0)=2x ax – 6x ay이고 +y 방향 성분이 들어오는 성분이므로 적분하면 2*(-3*3^2)=-54이다.
x=0인 경우, Phi(x=0)=14y ax – 2y ay이고, +x 방향 성분이 들어오는 성분이므로 마찬가지로 적분하면 2(7*2^2)=56이다.
따라서 나가는 양은 56-54=2이다.

Zin=Z0 (ZL+jZ0tan bl) / (Z0 +jZLtan bl)에서 Z0=R0, b=2pi/lambda, l=lambda/8이므로 bl=pi/4이다.
이 때 탄젠트 값은 1이므로, 대입하면 Zin=R0(ZL+jR0) / (R0+jZL)인데, 이 값이 무한대라는 뜻은 R0+jZL=0이란 것이므로 ZL=jR0이다.

고유 임피던스 nu=sqrt(u/e)이고, ur=1, er=9이므로 nu=nu0/3=377/3 정도이다. 따라서 H=3*10/377=79.6이다.

전기 쌍극자에 의한 전계의 식을 생각해보면 p와 r의 내적이 있으므로 수직인 지점에서는 최소가 될 것 같다.

무한평면도체의 임피던스는 0이므로 반사계수는 -1이므로 도체가 있는 지점에서는 항상 전계가 0이다.
그 다음으로 전계가 0인 지점은 마찬가지로 임피던스가 0이 되는 지점일 터인데, 이는 tan bl에서 tan이 pi의 주기를 가짐을 이용해서 풀 수 있다. b=2pi/lambda이므로 bl=2pi/lambda * l = pi에서 l=lambda/2이다. 따라서 2 m이 되는 지점에서 다시 임피던스는 0이 된다.
또한, 전계의 크기가 최대가 되는 지점은 임피던스가 무한대가 되는 지점인데, 12번의 식에서 tan bl이 무한대가 되는 지점이므로, bl=pi/2에서 l=1 m이다. 따라서 2 m에서 1 m 더 지난 3 m 지점에서 전계가 최대가 될 것이다.

div E=1/rho * d(rho *Erho)/drho + 1/rho * dEphi/dphi + dEz/dz이다.
계산하면 div E=1/rho * d(1)/drho+0+2=2이다.
따라서 D=eE에서 2e0가 답이다.

잘 모르겠어서 검색해보니 전파거북이님의 블로그에 마침 이 문제와 관련된 질문 댓글이 보였다.
https://ghebook.blogspot.com/2011/09/secret-of-dielectric.html
주어진 문제에서는 무손실이란 말이 없기 때문에 2번이 가장 틀린 것 같다. 무손실이 아니면 loss tangent에 의해서 위상 차이가 있을 것이다.

표피 두께를 구해보면 d=1/sqrt(pi*f*u*sigma)=1/sqrt(pi*10^7*4pi*10^(-7)*4*10^6)=1/sqrt((2pi)^2*4*10^6)=1/(2pi*2*10^3)=1/(4pi*10^3)이다.
따라서 저항을 구해보면 1/(sigma*d)=(4pi*10^3)/(4*10^6)=pi mOhm이다.

I1에 의한 자계 크기는 I/(2pi r)=5/(2 pi r)이다.
I2에 의한 자계 크기는 2/(2pi*3r)=1/(3pi r)이다.
두 자계는 수직 방향이므로 합치면 sqrt((5/2)^2+1/3^2)/(pi r)=sqrt(25/4+1/9)/(pi r)=sqrt(229/36)/(pi r)=sqrt(229)/(6 pi r)이다.

E= -del V – dA/dt이다.
-del V=-az( -jk^2/uew * exp(-jkz)cos bx) – ax(-k/uew * exp(-jkz) sin bx)에서 원점을 대입하면
-del V(O)=-az(-jk^2/uew)=az(jk^2/uew)
한편 -dA/dt를 구할 때, A를 t에 대해 미분하면 jw가 곱해지므로 -dA/dt=-jw exp(-jkz)cos(bx) az이다. 원점을 대입하면 -jw az이다.
따라서 E=az(jk^2/uew-jw)=az(jk^2-euw^2)/uew 이다.

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